To jest tylko wersja do druku, aby zobaczyć pełną wersję tematu, kliknij TUTAJ
FIZYKA DLA KAŻDEGO
Fizyka dla Każdego - poznaj ją z nami!

Matematyka - równania kwadratowe z parametrem

gribby - 2009-02-09, 11:07
Temat postu: równania kwadratowe z parametrem
1. Dla jakich wartości parametru a nierówność jest spełniona dla każdego rzeczywistego x?

I możliwość-jest to funkcja kwadratowa, warunki:

II możliwość:
funkcja liniowa
dla a=-1 nie są spełnione warunki zadania, ale dla a=1 jest spełnione.
Trzeba więc do wcześniejszego przedziału dodać {1}
I teraz moje pytanie, bo w I możliwości dałem - nie trzeba rozpatrzyć jeszcze <0? A może od razu wystarczy dać różne od 0?

Do tego zadania mam jeszcze pytanie:
Czy istnieje taka liczba x, aby dla każdego rzeczywistego a powyższa nierówność była prawdziwa.
Jak to sprawdzić? Pomocy!


2. Dla jakich wartości parametru a równanie ma nie więcej niż jeden pierwiastek?

Dla funkcji liniowej będzie spełnione
Dalej - funkcja kwadratowa, czy wystarcza podany przeze mnie warunek?



3. Dane jest równanie
Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.
Zupełnie się pogubiłem. Proszę o pomoc.

4. Dla jakich wartości m funkcja ma wartości dodatnie dla każdego rzeczywistego x?

Dla funkcji liniowej sprawdziłem i zauważyłem, że warunek podany w zadaniu jest spełniony.
Moje warunki dla funkcji kwadratowej:

Dobrze to jest? Czy trzeba jeszcze rozpatrzyć m-1<0? Czemu tak/nie?

5. Dla jakich wartości m suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza?

Nie proszę o rozwiązanie! Bo to już mam, tylko nie wiem czy dobre. Mam kilka pytań:
-Czy tutaj warunek jest dobry? Nie napisali, że muszą to być dwa różne pierwiastki, więc uznałem, że może być jeden podwójny. Właściwie? I to chyba wystarczyłoby.
- Czy funkcja może osiągać kilka ekstremów?

6. Dla jakich wartości m zbiór wartości funkcji jest przedziałem
Proszę o pomoc

Kettner - 2009-02-09, 11:28

1. Jeżeli to ramiona paraboli będą skierowane w dół. Oznacza to, że nierówność nie będzie spełniona dla wszystkich x.
Cytat:
Czy istnieje taka liczba x, aby dla każdego rzeczywistego a powyższa nierówność była prawdziwa.

Jeżeli dobrze zrozumiałem pytanie to nie. Przecież a spełniające nierówność nie należy do R, a przyjmujemy, że x tak.

2. Jest ok.

3. Najpierw oblicz delte. Następnie skorzystaj z wzorów Viete'a. Jak nie będziesz wiedział co dalej to pisz ;)

4.
Cytat:
Dla funkcji liniowej sprawdziłem i zauważyłem, że warunek podany w zadaniu jest spełniony.

jaki warunek?
Myślę, że powinieneś zrobić poprostu jak w pierwszym.

5.
Cytat:
Czy funkcja może osiągać kilka ekstremów?

Wtedy raczej mówimy o lokalnych(jak jest kilka). Funkcja kwaratowa ma jedno :)

6.Warunki:

gribby - 2009-02-09, 11:35

Kettner napisał/a:
Jeżeli dobrze zrozumiałem pytanie to nie. Przecież a spełniające nierówność nie należy do R, a przyjmujemy, że x tak.

To sprawdź dla x=0 :-/
Jak wyznaczyć takie liczby?
(za chwilę poczytam resztę ;) )
Niestety nie mam odpowiedzi i dlatego z byle pytaniem zwracam się do Was :)

PawelJan - 2009-02-09, 11:38

Kettner napisał/a:
Przecież a spełniające nierówność nie należy do R
Dlaczego?

gribby, wystarczy uporządkować równanie analogicznie do tego, które masz, tylko za zmienną traktować a zaś za parametr - x. Żeby się nie pokiełbasiło a=y i x=b, y bardziej się ze zmienną kojarzy, tak samo b ze stałą.

gribby - 2009-02-09, 11:45

OK, sprawdzę to za chwilę :) Jakby coś nie szło, to będę pytać.

3.
Kettner napisał/a:
Najpierw oblicz delte

Policzyłem, nie wiem czy dobrze, ale dałem że ma być >=0
Potem to ze wzorów Viete'a doszedłem do czegoś takiego:
-b/c, podstawiając miałem funkcję jednej zmiennej:
, ale dalej takie długie ułamki wychodzą, że zaprzestałem to liczyć, myśląc, że mam gdzieś błąd. Liczyłem z pochodnej, nawet nie myślałem jak z tej funkcji f szukać wartość najmniejszą, to w ogóle funkcja kwadratowa jest czy co?

Kettner - 2009-02-09, 11:46

gribby,faktycznie. Nie spojrzałem od tej strony.
Cytat:
Kettner napisał/a:
Przecież a spełniające nierówność nie należy do R

Dlaczego?

Przecież nie wszystkie a spełniają nierówność dla

PawelJan - 2009-02-09, 11:48

Kettner, napiszę raz jeszcze: napisałeś, że a spełniające nierówność nie należą do R. To jakie są? Zespolone?

Rozumiem, co chcesz powiedzieć, ale to co napisałeś to jest nieprawda. Matematyka powiedziałbym jeszcze ściślejsza od fizyki i każde słowo się liczy :) a spełniające nierówność nie pokrywają zbioru liczb rzeczywistych. Ale przecież to jest pod warunkiem "dla wszystkich x". Teraz pytamy, czy będzie istniał choć jeden x taki, że dla wszystkich a nierówność będzie spełniona. Jest różnica.

Kettner - 2009-02-09, 11:51

ahh no dobra należą :) Rozumiem swój błąd...
gribby, robię poczekaj chwilkę.

gribby - 2009-02-09, 11:55

Kettner napisał/a:
4.Cytat:
Dla funkcji liniowej sprawdziłem i zauważyłem, że warunek podany w zadaniu jest spełniony.

jaki warunek?

A taki, że dla każdego rzeczywistego x funkcja osiąga wartości dodatnie, funkcja liniowa jest wtedy gdy współczynnik przy x^2 będzie równy 0, więc dla m=1, mamy:
-2+1+2>0, więc się zgadza.

Kettner napisał/a:
Myślę, że powinieneś zrobić poprostu jak w pierwszym

Chodzi Ci o funkcję kwadratową?

6. Nie rozumiem ostatniego warunku.
A czemu nie może być:
i , mamy parabolę skierowaną do góry, dwa miejsca zerowe, mogłoby być rozwiązaniem chyba x<=3, trzeba byłoby jeszcze jakoś to ograniczyć z prawej strony.
Nie rozumiem tego :(

[ Dodano: 2009-02-09, 11:00 ]
Do zadania 1:
to drugie pytanie-w ogóle nie wiedziałem co z tym zrobić, jak znaleźć taką liczbę, popatrzyłem więc na to, sprawdziłem dla 0, i jest. Nie wiem czy jest tego więcej czy nie :D I fajnie byłoby to jakoś przedstawić w postaci rozwiązania, a nie zgadywanki. Dzięki PawelJan, sprawdzę to, ale muszę chwilę odpocząć ;)

PawelJan - 2009-02-09, 12:02

No właśnie jak rozwiązać Ci napisałem - za a daj y, za x daj b. Masz nierówność z parametrem b. Rozwiązać tak samo jak pierwsze.
Kettner - 2009-02-09, 12:02

Cytat:
A taki, że dla każdego rzeczywistego x funkcja osiąga wartości dodatnie, funkcja liniowa jest wtedy gdy współczynnik przy x^2 będzie równy 0, więc dla m=1, mamy:
-2+1+2>0, więc się zgadza.

funkcja to przecież dla mamy
Cytat:
Kettner napisał/a:
Myślę, że powinieneś zrobić poprostu jak w pierwszym


Chodzi Ci o funkcję kwadratową?

Generalnie trzeba zrobić właścicie to samo co w pierwszym zadaniu.

6. Po pierwsze: zbiór wartości zaczyna sie od więc parabola ma ramiona skierowane do dołu. Po drugie: ZB kończy się na -3 więc nie ma miejść zerowych. Po trzecie: trzeci warunek to wzór na wierzchołek paraboli, który znajduje sie w punkcie -3.

gribby - 2009-02-09, 12:10

Kettner napisał/a:
funkcja to przecież...

Opuściłem nieuważnie to x, dzięki.

Kettner napisał/a:
trzeci warunek to wzór na wierzchołek paraboli,

A wierzchołek to nie jest -b/2a? skąd tam delta? Czy chodzi Ci o drugą współrzędną wierzchołka?
Nie rozumiem w ogóle co mam pokazać w tym zadaniu (cały czas mówię o zad. 6). Nie mamy tam pokazać ani, że funkcja ta jest równa 0, ani większa czy mniejsza, co mamy pokazać? :-/

Kettner - 2009-02-09, 12:13

Co do 3. Wyszedł mi z delty przedział:
Wykorzystując ten przedział szukam najmniejszej wartości i wydaje mi się, że bedzie ona dla m=-6 bo wraz ze wzrostem m rośnie wartość tego ilorazu.

[ Dodano: 2009-02-09, 11:14 ]
Cytat:
A wierzchołek to nie jest -b/2a? skąd tam delta? Czy chodzi Ci o drugą współrzędną wierzchołka?
Nie rozumiem w ogóle co mam pokazać w tym zadaniu (cały czas mówię o zad. 6). Nie mamy tam pokazać ani, że funkcja ta jest równa 0, ani większa czy mniejsza, co mamy pokazać?

drugą współrzędną oczywiście bo ją znamy. Mamy wyznaczyć te wartości m dla których funkcja będzie mieściła sie w tym przedziale.

gribby - 2009-02-09, 12:18

Moglibyście jeszcze spojrzeć, czy w 5. dobry warunek?

3. Wyszedł mi przedział <-4/3; 6> :| Ta delta powinna być większa lub równa 0, prawda?

Ad 6. Muszę nad nim jeszcze pomyśleć.

PawelJan - 2009-02-09, 12:21

gribby, co do 6. narysuj sobie i zrozum sytuację.

Zbiór wartości funkcji, a więc "rzut" wykresu na oś igreków ma zawierać się w przedziale od -∞ do -3. Jak napisał Kettner, skoro od -∞ to ramiona paraboli zwrócone są w dół, czyli ma być współczynnik a<0. Skoro zbiór wartości kończy się pod osią iksów, parabola nie przecina jej. Δ<0.
Trzeci warunek - to warunek na wartość funkcji (-3) w wierzchołku paraboli. Nie współrzędna iksowa wierzchołka, tylko igrekowa bo takie mamy ograniczenie.

Kettner - 2009-02-09, 12:24

Cytat:
3. Wyszedł mi przedział <-4/3; 6> Ta delta powinna być większa lub równa 0, prawda?

tak.
Pokaże Ci jak liczyłem.

mamy parabolę zwrócona w dół stąd przedział

gribby - 2009-02-09, 12:26

W drugiej linii obliczeń opuściłeś "-" przed trójką
Kettner - 2009-02-09, 12:27

tak tak, ale patrzyłem na swoje notatki i jak zauwazysz dalej wszystko jest ok.
gribby - 2009-02-09, 12:33

PawelJan, wszystko jasne :) Nie wiem czemu, cały czas patrzyłem jedynie na oś OX. Dzięki!

Kettner, tak, ja zapomniałem o minusie przed b we wzorach na pierwiastki.
Funkcję miałem taką samą.
I co dalej?

Kettner - 2009-02-09, 12:36

Cytat:
Wyszedł mi z delty przedział:
Wykorzystując ten przedział szukam najmniejszej wartości i wydaje mi się, że bedzie ona dla m=-6 bo wraz ze wzrostem m rośnie wartość tego ilorazu.

To dalej :)

gribby - 2009-02-09, 12:39

Nic nowego nie powiem-nie rozumiem :D
Nie wiem, jak to zrobić, mam szukać najmniejszej wartości dla liczb skrajnych przedziału i jeszcze czegoś?

Kettner - 2009-02-09, 12:42

Wystarczy zauważyć jak będzie zachowała się ta krzywa w tym przedziale. Możesz sobie zrobic tabelkę i policzyć wartości zauwazysz, że do 0 będą bardzo szybko rosły. Potem zacznie spadać w dół, ale ostatecznie najmniejszą wartośc funkcja osiagnie dla -6
gribby - 2009-02-09, 12:46

I tyle? :) Czy coś jeszcze? - do tego zadania.
Kettner - 2009-02-09, 12:49

Cytat:
Wyznacz tę wartość.

no to chyba tyle :D

gribby - 2009-02-09, 12:52

Dzięki! :)

To chyba już wszystko, aha i ponawiam swoją prośbę do zad.5:
Cytat:
-zy tutaj warunek jest dobry? Nie napisali, że muszą to być dwa różne pierwiastki, więc uznałem, że może być jeden podwójny. Właściwie? I to chyba wystarczyłoby.

Jak myślicie?



Powered by phpBB modified by Przemo © 2003 phpBB Group