Targowisko korepetycji  |  Zadania z olimpiad i konkursów!  |  Olimpiada fizyczna 2014/2015
Ars Physica Zamkor
  •  FAQ  •   Szukaj  •   Użytkownicy  •   Grupy  •  Rejestracja  •   Zaloguj


Poprzedni temat :: Następny temat
Rozkład Maxwella a rozkład Boltzmana
Autor Wiadomość
pandyzio 



Pomógł: 2 razy
Wiek: 21
Posty: 137
Wysłany: 2012-07-05, 00:57   Rozkład Maxwella a rozkład Boltzmana

Witam,

mam taki problem.

Rozkład Maxwella przedstawia się następująco:

Aby uzyskać ogólną liczbę cząstek poruszających się z daną szybkością, należy pomnożyć to przez liczbę wszystkich cząstek N.

Stosunek liczby cząstek poruszających się z szybkością do liczby cząstek poruszających się z prędkością wynosi:


Rozkład Boltzmana przedstawia się tak:


Widać więc, że przy liczeniu z rozkładu Maxwella wychodzi o większy stosunek, czy tak jakby te rozkłady były sprzeczne.
W to jednak wątpię, gdyż czytałem, że jeden rozkład można z drugiego wyprowadzić. Po za tym, nigdzie nie znalazłem informacji, że te rozkłady są sprzeczne.

Błąd na 99,9% wynika z mojego błędnego zrozumienia. Gdzie więc popełniam błąd?

Proszę o odpowiedź.
Pozdrawiam ;)
 
   
Amon-Ra 
Fizyk matematyczny


Pomógł: 323 razy
Wiek: 30
Posty: 1636
Skąd: Tczew
Wysłany: 2012-07-05, 20:15   

Rozkład Maxwella , który podałeś definiuje gęstość prawdopodobieństwa (ściślej: miarę probabilistyczną) zmiennej losowej v (szybkość cząsteczki gazu; długość wektora prędkości). Rozkład ten bierze się z innego rozkładu prawdopodobieństwa (także zwanego rozkładem Maxwella) postaci , który opisuje tym razem gęstość prawdopodobieństwa nie tylko dla długości wektora prędkości, ale także dla jego kierunku i zwrotu, tj. jest to pełen rozkład dla wektora . Rozkład który napisałeś jest rozkładem zredukowanym, tj. powstającym po wycałkowaniu rozkładu po wszystkich możliwych kierunkach wektora prędkości. Człon bierze się z przejścia do współrzędnych sferycznych podczas tej redukcji.

Odpowiadając na Twoje pytanie: rozkład Boltzmanna jest rozkładem "bardziej pierwotnym", biorącym się z postulatu Gibbsa dotyczącego układów w równowadze termodynamicznej. W pewnym sensie rozkład jest właśnie także "bardziej pierwotny" (chociaż również powstaje po redukcji w przestrzeni fazowej). Postulat Gibbsa mówi, że prawdopodobieństwo obsadzenia mikrostanu o energii jest liniowo zależne od . Przez mikrostan w przypadku klasycznych układów hamiltonowskich opisywanych przestrzenią fazową rozumiemy właśnie wektor z przestrzeni fazowej , który częściowo zdefiniowany jest przez położenia, a częściowo przez pędy wszystkich cząsteczek układu.

Zgodna z postulatem Gibbsa funkcja gęstości prawdopodobieństwa mikrostanu będzie postaci , na Hamiltonian możesz patrzeć jak na całkowitą energię mikrostanu . Teraz, po wykonaniu redukcji po wszystkich współrzędnych położeniowych i po wszystkich współrzędnych pędowych poza współrzędnymi jednej cząsteczki, dostaniemy rozkład . Określa on zatem prawdopodobieństwo mikrostanu scharakteryzowanego w całości przez wektor prędkości (z zaniedbaniem położeń i wszystkich innych pędów/prędkości).

Reasumując: obecność czynnika z v w kwadracie w otrzymanej przez Ciebie formule bierze się z tego, że stosujesz inną miarę probabilistyczną. Czynnik ten nie pojawi się, jeżeli punktem wyjścia będzie zgodna z postulatem Gibbsa funkcja , a nie zaś zredukowana .
_________________
... i dopiero wtedy stało się światło ;)
 
   
Maciek.mat 


Wiek: 26
Posty: 74
Wysłany: 2012-08-08, 13:22   

Czy ktoś mógłby zobaczyć, jak wypada pod względem prawdy artykuł na Wikipedii o rozkładzie Maxwella? Zdaje mi się, że sugeruje fałszywe interpretacje, szczególnie definicja rozkładu i wykresy, bo jest tam napisane, że jest to rozkład prędkości cząstek gazu doskonałego, a nie rozkład gęstości prawdopodobieństwa. Dalej, opis jednego z wykresów ma jakieś dziwne ograniczenia, że dotyczy przedziału prędkości plus minus pół metra na sekundę. Poza tym, kolejny wykres ma zamalowaną powierzchnię, a tu przecież chodzi wyłącznie o tą krzywą. Co o tym sądzicie? Dziękuję. Pozdrawiam.
 
   
Wyświetl posty z ostatnich:   
Odpowiedz do tematu
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
Nie możesz załączać plików na tym forum
Możesz ściągać załączniki na tym forum
Dodaj temat do Ulubionych
Wersja do druku

Skocz do:  




Powered by phpBB modified by Przemo © 2003 phpBB Group
Template FISubSilver v 0.3 modified by Nasedo
Kontakt: kontakt@fizyczny.net
Przejdź na stat4U